Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2 ， 由橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形．它的面積為4 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)B（m，n）（mn≠0）在橢圓上，點(diǎn)A（0，2 ），直線AB交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)B′為點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，直線AB′交x軸于點(diǎn)E，若在y軸上存在點(diǎn)G（0，t），使得∠OGD=∠OEG，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得 ，

∴ ，∴橢圓C的方程： ．

（2）解：設(shè)D（x1，0），E（x2，0）．

由A，D，B，三點(diǎn)共線．得 ，即x1= ．

同理可得x2= ．

又∵∠OGD=∠OEG，∴ ．

∵﹣2 ，且n≠0，∴ ，

由于 ，∴ ，

∴t=±4，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，±4）．

【解析】（1）利用橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，它的面積為4 ．建立方程關(guān)系，求出a，b，即可得橢圓方程．（2）設(shè)D（x1 ， 0），E（x2 ， 0）．由A，D，B，三點(diǎn)共線．得x1= ．同理可得x2= ．又∠OGD=∠OEG，得 ．由于 ，故 ．
【考點(diǎn)精析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．