Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²-a|x-1|，其中a∈R．
（1）若函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{3}{4}$有四個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為g（a），求g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（x）=$\frac{3}{4}$有4個(gè)實(shí)數(shù)解，對(duì)x討論，x≥1時(shí)，x＜1時(shí)，方程都有兩個(gè)實(shí)根，運(yùn)用二次函數(shù)的圖象，可得不等式組，解得即可；
（2）結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)a進(jìn)行分類討論，可得f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值g（a）的表達(dá)式．

解答 解：（1）函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{3}{4}$有四個(gè)零點(diǎn)，即為
f（x）=$\frac{3}{4}$有4個(gè)實(shí)數(shù)解，
即有x≥1時(shí)，x²-ax+a-$\frac{3}{4}$=0有2個(gè)解，
即有$\left\{\begin{array}{l}{1-a+a-\frac{3}{4}≥0}\\{\frac{a}{2}＞1}\\{{a}^{2}-4（a-\frac{3}{4}）＞0}\end{array}\right.$即為$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＞3或a＜1}\end{array}\right.$解得a＞3；
由x＜1時(shí)，x²+ax-a-$\frac{3}{4}$=0有2個(gè)解，
即有$\left\{\begin{array}{l}{1+a-a-\frac{3}{4}＞0}\\{-\frac{a}{2}＜1}\\{{a}^{2}+4a+3＞0}\end{array}\right.$，即為$\left\{\begin{array}{l}{a＞-2}\\{a＞-1或a＜-3}\end{array}\right.$解得a＞-1．
綜上可得，a的范圍是a＞3．
（2）f（x）=x²-a|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a，x＜1}\\{{x}^{2}-ax+a，x≥1}\end{array}\right.$，
若-2≤a≤0，此時(shí)函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，-$\frac{a}{2}$]上為減函數(shù)，
在區(qū)間[-$\frac{a}{2}$，1）上遞增，在（1，2）遞增，
由f（-2）=4-3a，f（2）=4-a，故g（a）=f（-2）=4-3a；
若a＜-2，則f（x）在（-2，1）遞減，在（1，2）遞增，即有f（-2）取得最大值，且為4-3a；
若0＜a≤2時(shí)，f（x）在（-2，-$\frac{a}{2}$）遞減，在（-$\frac{a}{2}$，1）遞增，（1，2）遞增，f（-2）＜f（2），
即有f（2）=4-a取得最大值；
若2＜a≤3時(shí)，f（x）在（-2，-$\frac{a}{2}$）遞減，在（-$\frac{a}{2}$，1）遞增，（1，2）遞增，f（-2）＜f（2），
即有f（2）=4-a取得最大值；
若3＜a≤4時(shí)，f（x）在（-2，-$\frac{a}{2}$）遞減，在（-$\frac{a}{2}$，1）遞增，（1，2）遞增，f（1）＞f（2），
即有f（1）=1取得最大值；
若a＞4時(shí)，f（x）在（-2，1）遞增，在（1，2）遞減，即有f（x）的最大值為f（1）=1．
綜上可得，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{4-3a，a≤0}\\{4-a，0＜a≤3}\\{1，a＞3}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想，難度中檔．