Question

9．在矩形中ABCD中，AB=4，BC=2$\sqrt{3}$，M為動點，DM、CM的延長線與AB（或其延長線）分別交于點E、F，若$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$+$\overrightarrow{EF}$²=0．
（1）若以線段AB所在的直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，試求動點M的軌跡方程；
（2）不過原點的直線l與（1）中軌跡交于G、H兩點，若GH的中點R在拋物線y²=4x上，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設M（x，y），由已知D、E、M及C、F、M三點共線求得x_E、x_F，可得$\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{BF}$ 的坐標，${\overrightarrow{EF}}^{2}$=${{（x}_{E}{-x}_{F}）}^{2}$，代入$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$+$\overrightarrow{EF}$²=0，化簡可得點M的軌跡方程．
（2）設直線l的方程為 y=kx+m （m≠0），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），由 $\left\{\begin{array}{l}{y=kxm}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，可得關于x的一元二次方程，由△＞0，可得 4k²-m²+3＞0 ①．利用韋達定理求得M的坐標，將點M的坐標代入y²=4x，可得 m=-$\frac{16k（3+{4k}^{2}）}{9}$，k≠0 ②，將②代入①求得k的范圍．

解答 解：（1）設M（x，y），由已知得A（-2，0）、B （2，0）、C（2，2$\sqrt{3}$）、D（-2，2$\sqrt{3}$），
由D、E、M及C、F、M三點共線得，x_E $\frac{2\sqrt{3}x+2y}{2\sqrt{3}-y}$，x_F=$\frac{2\sqrt{3}x-2y}{2\sqrt{3}-y}$．
又$\overrightarrow{AE}$=（x_E+a，0），$\overrightarrow{BF}$=（x_F-a，0），${\overrightarrow{EF}}^{2}$=${{（x}_{E}{-x}_{F}）}^{2}$，
代入$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$+$\overrightarrow{EF}$²=0，化簡可得 $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）設直線l的方程為 y=kx+m （m≠0），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=kxm}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，可得 （3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由題意可得△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即 4k²-m²+3＞0 ①．
又x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+{4k}^{2}}$，故M（-$\frac{4km}{3+{4k}^{2}}$，$\frac{3m}{3+{4k}^{2}}$），將點M的坐標代入y²=4x，
可得 m=-$\frac{16k（3+{4k}^{2}）}{9}$，k≠0 ②，
將②代入①得：16k² （3+4k²）＜81，
解得-$\frac{\sqrt{6}}{8}$＜k＜$\frac{\sqrt{6}}{8}$ 且k≠0．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標形式的運算法則，直線和圓錐曲線的位置關系，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．