Question

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AB=1，BC=2，PA⊥底面ABCD．
（1）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（2）在邊BC上是否存在一點G，使得PD與平面PAG所成的正弦是

5

5

．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：計算題,證明題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）運用線面垂直的判定和性質，面面垂直的判定定理，即可得證；
（2）在邊BC上假設存在一點G，使得PD與平面PAG所成的正弦是

5

5

．過D作DO⊥平面PAG，垂足為O，連接PO，
則∠DPO為PD與平面PAG所成的角．運用等積法，得V_P-ADG=V_D-PAG，即

1

3

PA•S_△ADG=

1

3

DO•S_△PAG，即可判斷．

解答： （1）證明：∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD；
（2）在邊BC上假設存在一點G，使得PD與平面PAG所成的正弦是

5

5

．
過D作DO⊥平面PAG，垂足為O，連接PO，
則∠DPO為PD與平面PAG所成的角．
設BG=x，則△ADG的面積為1，AG=

1+x2

，
直角三角形PAG的面積為

1

2

1+x2

，
在直角三角形PAD中，PD=

5

，
由sin∠DPO=

5

5

，得DO=PDsin∠DPO=1．
由等積法，得V_P-ADG=V_D-PAG，即

1

3

PA•S_△ADG=

1

3

DO•S_△PAG，
1=

1

2

1+x2

，解得x=

3

．
故在邊BC上一點G，使得BG=

3

，PD與平面PAG所成的正弦是

5

5

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定和性質，面面垂直的判定定理，考查直線與平面所成的角的求法，考查等積法，屬于中檔題．