Question

5．已知⊙P經(jīng)過（4，0），（-2，0），（0，2$\sqrt{6}$-4）三點，
（1）試問點A（5，-1）是否在⊙P上？并說明理由；
（2）過點B（-4，0）作⊙P的切線，求切線方程；
（3）若點C（x，y）為⊙P上一點，求（x-5）²+（y-4）²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，求出圓的方程，即可得出結(jié)論；
（2）由題意知點B在圓外，故所求的切線有兩條，先判斷斜率不存在時是否成立；再設(shè)切線方程利用圓心到切線的距離等于半徑求斜率．
（3）所求式子表示圓上點到（5，4）距離的平方，從而求（x-5）²+（y-4）²的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則$\left\{\begin{array}{l}{16+4D+F=0}\\{4-2D+F=0}\\{（2\sqrt{6}-4）^{2}+（2\sqrt{6}-4）E+F=0}\end{array}\right.$
∴D=-2，E=8，F(xiàn)=-8，
∴圓的方程為x²+y²-2x+8y-8=0，
A（5，-1）代入，可得25+1-10-8-8=0，∴點A（5，-1）在⊙P上；
（2）圓的方程為x²+y²-2x+8y-8=0，可化為（x-1）²+（y+4）²=25，圓心C（1，-4），半徑r=5，
①當(dāng)切線的斜率不存在時，過點B（-4，0）切線方程：x=-4，
此時圓心C（1，-4）到直線x=-4的距離為5，符合題意；
②當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)過點B（-4，0）切線方程：y=k（x+4），
即 kx-y+4k=0，
∵與圓（x-1）²+（y+4）²=25的相切，
∴5=$\frac{|5k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，解得 k=$\frac{9}{40}$，代入化簡得切線方程9x-40y+36=0．
（3）（x-5）²+（y-4）²表示圓上點到（5，4）距離的平方，
圓心（1，-4）與（5，4）距離為$\sqrt{（5-1）^{2}+（4+4）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴（x-5）²+（y-4）²的取值范圍是[（4$\sqrt{5}$-5）²，（4$\sqrt{5}$+5）²]．

點評 本題考查圓的方程，求過圓外一點的切線方程，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力，屬于中檔題．