Question

16．已知點A的坐標(biāo)為（2，3），F(xiàn)為拋物線y²=2x的焦點，若點P在拋物線上移動，當(dāng)|PF|-|PA|取得最大值，則點P的坐標(biāo)是（　　）

• A． （2，2）
• B． （$\sqrt{6}$，3）
• C． （3，$\sqrt{6}$）
• D． （$\frac{9}{2}$，3）

Answer 1

分析 作PM⊥準(zhǔn)線l，M為垂足，由拋物線的定義可得|PF|-|PA|=|PM|-|PA|，故當(dāng)P，A，M三點共線時，|PF|-|PA|最大為|AM|，此時，P點的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線的方程可求得P點的橫坐標(biāo)，從而得到P點的坐標(biāo)．

解答 解：由題意可得F（$\frac{1}{2}$，0 ），
準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{1}{2}$，
作PM⊥準(zhǔn)線l，M為垂足，
由拋物線的定義可得|PF|-|PA|=|PM|-|PA|，
故當(dāng)P，A，M三點共線時，|PF|-|PA|取得最大值，
且為|AM|=2-（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{2}$，
此時，P點的縱坐標(biāo)為3，
代入拋物線的方程可求得P點的橫坐標(biāo)為$\frac{9}{2}$，
故P點的坐標(biāo)為（$\frac{9}{2}$，3），
故選：D．

點評 本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷當(dāng)P，A，M三點共線時，|PF|-|PA|最大為|AM|，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．