Question

15．已知點(diǎn)A（0，1），B（1，0），C（t，0），點(diǎn)D是直線AC上的動點(diǎn)，若AD≤2BD恒成立，則最小正整數(shù)t的值為4．

Answer 1

分析 先設(shè)出D（x，y），得到AD的方程為：x+ty-t=0，由AD≤2BD得到圓的方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，求出t的最小值即可．

解答 解：設(shè)D（x，y），由D在AC上，
得：$\frac{x}{t}+y=1$，即x+ty-t=0，
由AD≤2BD得：${（x-\frac{4}{3}）}^{2}$+${（y+\frac{1}{3}）}^{2}$≥$\frac{8}{9}$，
依題意，線段AD與圓${（x-\frac{4}{3}）}^{2}$+${（y+\frac{1}{3}）}^{2}$=$\frac{8}{9}$，至多有一個公共點(diǎn)，
∴$\frac{|\frac{4}{3}-\frac{4}{3}t|}{\sqrt{1{+t}^{2}}}≥\sqrt{\frac{8}{9}}$，解得：t≥2+$\sqrt{3}$或t≤2-$\sqrt{3}$，
∵t是使AD≤2BD恒成立的最小正整數(shù)，∴t=4，
故答案為：4．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的方程，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．