Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax+$\frac{1}{x+b}$（a，b∈Z），曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=3．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）過曲線y=f（x）上任意一點作切線l，問l與直線x=1和直線y=x所圍成的三角形的面積是否為定值，若為定值，求出此定值；若不為定值，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由求導(dǎo)公式和法則求出導(dǎo)數(shù)，再由題意和導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f（2）和f′（2），代入對應(yīng)的解析式列出方程，再求解可得f（x）的解析式，求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（2）取曲線上任一點，求出切線的斜率和切線方程，并求與x=1和y=x的交點，再由面積公式，即可得到定值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax+$\frac{1}{x+b}$，則f′（x）=a-$\frac{1}{（x+b）^{2}}$，
∵在點（2，f（2））處的切線方程為y=3，
∴f′（2）=a-$\frac{1}{（2+b）^{2}}$=0   ①
f（2）=2a+$\frac{1}{2+b}$=3       ②
由①②解得，a=1，b=-1，
∴f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$，
即有f′（x）=1-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2x}{（x-1）^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜0，
令f′（x）＜0，解得0＜x＜1或1＜x＜2，
則f（x）的增區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞）；減區(qū)間為（0，1），（1，2）；
（2）∵f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$，
在曲線上任取一點（x₀，x₀+$\frac{1}{{x}_{0}-1}$），
由f′（x₀）=1-$\frac{1}{（{x}_{0}-1）^{2}}$，
知過此點的切線方程為y-x₀-$\frac{1}{{x}_{0}-1}$=[1-$\frac{1}{（{x}_{0}-1）^{2}}$]（x-x₀），
令x=1得y=$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}$，即切線與直線x=1的交點為（1，$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}$），
令y=x，得y=2x₀-1，
即切線與直線y=x的交點為（2x₀-1，2x₀-1），
又直線x=1與直線y=x的交點為（1，1），
從而所圍成的三角形面積為：$\frac{1}{2}$|$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}$-1|•|2x₀-1-1|=$\frac{1}{2}$|$\frac{2}{{x}_{0}-1}$|•|2x₀-2|=2，
故所圍成的三角形面積為定值2．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查三角形面積的計算，正確求導(dǎo)和確定切線方程是關(guān)鍵．