Question

11．一個(gè)骰子的6個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6，現(xiàn)拋擲3個(gè)這樣質(zhì)地均勻的骰子．
（1）求拋擲出的這三個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)的概率？
（2）設(shè)X為3個(gè)骰子中點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）求出拋擲出的這三個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)的事件的個(gè)數(shù)，求出所有可能的結(jié)果，從而求出滿足條件的概率；
（2）列出X的所有的取值，分別求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，從而求出數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）拋擲出的這三個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)為事件A，
則A包括：三個(gè)點(diǎn)數(shù)中有3個(gè)數(shù)完全一致，2個(gè)數(shù)完全一致，沒有重復(fù)數(shù)字三類，
即：（6，6，6），（3，3，3），
    （1，1，3），（1，1，6），（2，2，3），（2，2，6），
    （3，3，1），（3，3，2），（3，3，4），（3，3，5），
    （3，3，6），（4，4，3），（4，4，6），（5，5，3），
    （5，5，6），（6，6，1），（6，6，2），（6，6，3），
    （6，6，4），（6，6，5），
    （3，6，x），（3，x，x），（6，x，x），
共有2+18${C}_{3}^{1}$+${C}_{4}^{1}$•${A}_{3}^{3}$+2${C}_{4}^{2}$•${A}_{3}^{3}$=152，而所有的結(jié)果數(shù)是6×6×6=216，
∴P（A）=$\frac{152}{216}$=$\frac{19}{27}$；
（2）由題意得：X=0，1，2，3，
∴P（X=0）=$\frac{4×4×4}{6×6×6}$=$\frac{8}{27}$，
  P（X=1）=$\frac{3{（C}_{2}^{1}×4×4）}{6×6×6}$=$\frac{12}{27}$，
  P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}（4×2×2）}{6×6×6}$=$\frac{6}{27}$，
  P（X=3）=$\frac{2×2×2}{6×6×6}$=$\frac{1}{27}$，
∴X的分布列是：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{1}{27}$

∴E（X）=0×$\frac{8}{27}$+1×$\frac{12}{27}$+2×$\frac{6}{27}$+3×$\frac{1}{27}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求離散型隨機(jī)變量的分布列，數(shù)學(xué)期望，細(xì)心正確應(yīng)用公式是解答此類問題的關(guān)鍵．