Question

15．在△ABC中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且4cosA一4cosAsin²$\frac{A}{2}$=2sin²A．
（1）求角A；
（2）延長AB至D，使得AD=2AB，若CD=4，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）使用二倍角公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡條件式，得到關(guān)于cosA的一元二次方程，解出cosA即可；
（2）在△ACD中使用余弦定理和基本不等式求出AB•AC的最大值．代入面積公式求出最大值．

解答 解：（1）∵4cosA一4cosAsin²$\frac{A}{2}$=2sin²A，∴4cosA（1-sin²$\frac{A}{2}$）=2sin²A，即4cosA（1-$\frac{1-cosA}{2}$）=2sin²A．
∴cosA（1+cosA）=1-cos²A，即2cos²A+cosA-1=0．解得cosA=$\frac{1}{2}$或cosA=-1（舍）．
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）在△ACD中，由余弦定理得cosA=$\frac{A{D}^{2}+A{C}^{2}-C{D}^{2}}{2AD•AC}$=$\frac{4A{B}^{2}+A{C}^{2}-16}{4AB•AC}$=$\frac{1}{2}$．
∴4AB²+AC²=2AB•AC+16，又∵4AB²+AC²≥4AB•AC，∴2AB•AC+16≥4AB•AC，∴AB•AC≤8．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•AC$sinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB•AC≤2$\sqrt{3}$．
∴△ABC的面積的最大值是2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，余弦定理，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．