分析 (Ⅰ)設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),運(yùn)用直線的斜率公式,求出a,b,即可求橢圓C的方程;
(Ⅱ)先表示出線段AB長(zhǎng)度,再利用基本不等式,求出最小值.
解答 解:(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),
由題意可得c=$\sqrt{2}$,設(shè)短軸的端點(diǎn)為(0,-b),
可得$\frac{0-(-b)}{\sqrt{2}-0}$=tan$\frac{π}{4}$=1,解得b=$\sqrt{2}$,
∴a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=2,
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1;
(Ⅱ)設(shè)A(t,2),B(x0,y0),x0≠0,則
∵OA⊥OB,
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0,
∴tx0+2y0=0,
∴t=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$,
∵x02+2y02=4,
∴|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=(x0+$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$)2+(y0-2)2
=x02+y02+$\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}$+4=x02+$\frac{4-{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{2(4-{{x}_{0}}^{2})}{{{x}_{0}}^{2}}$+4=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$+4(0<x02≤4),
因?yàn)?\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$≥4(0<x02≤4),
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$=$\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$,即x02=4時(shí)等號(hào)成立,
所以|AB|2≥8.
∴線段AB長(zhǎng)度的最小值為2$\sqrt{2}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程與性質(zhì),考查基本不等式的運(yùn)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
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