Question

16．（1）已知$f（1+\frac{1}{x}）=\frac{1}{x^2}$-1，求f（x）的解析式．
（2）已知f（x）是二次函數(shù)，且滿足f（2）=4，f（-3）=4，且f（x）的最小值為2，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）令t=$1+\frac{1}{x}$，t≠1，則x=$\frac{1}{t-1}$，利用換法法，先求出f（t），進(jìn)而可得f（x）的解析式．
（2）由已知可得f（x）的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{1}{2}$對(duì)稱，結(jié)合f（x）的最小值為2，可設(shè)出函數(shù)的頂點(diǎn)式方程，求出a值后，可得答案．

解答 解：（1）令t=$1+\frac{1}{x}$，t≠1，則x=$\frac{1}{t-1}$，
∵$f（1+\frac{1}{x}）=\frac{1}{x^2}$-1，
∴$f（t）=\frac{1}{{（\frac{1}{t-1}）}^{2}}-1$=t²-2t，
∴f（x）=x²-2x，x≠1，
（2）∵f（x）是二次函數(shù)，且滿足f（2）=4，f（-3）=4，
故f（x）的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{1}{2}$對(duì)稱，
又∵f（x）的最小值為2，
∴設(shè)f（x）=a（x+$\frac{1}{2}$）²+2，（a＞0），
則f（2）=a（2+$\frac{1}{2}$）²+2=4，
解得：a=$\frac{8}{25}$，
∴f（x）=$\frac{8}{25}$（x+$\frac{1}{2}$）²+2=$\frac{8}{25}$x²+$\frac{8}{25}$x+$\frac{52}{25}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是換元法求函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．