Question

已知橢圓C1: +=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A(1,0),過C1的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1.

(1)求橢圓C1的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)P在拋物線C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在點(diǎn)P處的切線與C1交于點(diǎn)M,N.當(dāng)線段AP的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí),求h的最小值.

Answer 1

解:(1)由題意,得

從而

因此,所求的橢圓方程為+x2=1.

(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),

P(t,t2+h),

則拋物線C2在點(diǎn)P處的切線斜率為

y′|x=t=2t,

直線MN的方程為:

y=2tx-t2+h.

將上式代入橢圓C1的方程中,

得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0,

即4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.①

因?yàn)橹本�MN與橢圓C1有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

所以①式中的

Δ1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0.②

設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x3,

則x3==.

設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x4,

則x4=.

由題意,得x3=x4,

即t2+(1+h)t+1=0.③

由③式中的

Δ2=(1+h)2-4≥0,

得h≥1或h≤-3.

當(dāng)h≤-3時(shí),h+2<0,4-h2<0,

則不等式②不成立,

所以h≥1.

當(dāng)h=1時(shí),代入方程③得t=-1,

將h=1,t=-1代入不等式②,檢驗(yàn)成立.

所以h的最小值為1.