Question

3．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)A（1，0），B（-1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=4．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，0）作直線l與軌跡C交于E、F兩點(diǎn)，線段EF的中點(diǎn)為M，軌跡C與x軸正半軸的交點(diǎn)為N，求直線MN的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過橢圓定義即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過設(shè)直線l方程x=my+$\frac{1}{2}$，并與橢圓C方程聯(lián)立，設(shè)M（x₀，y₀），利用韋達(dá)定理可知k=$\frac{1}{4}$•$\frac{m}{1+{m}^{2}}$，對(duì)m是否為0進(jìn)行討論即可．

解答 解：（Ⅰ）由題可知，軌跡C是以A（1，0）、B（-1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，
∵動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=4，∴2a=4，即a=2，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）依題意N（2，0），直線l過點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，0）且斜率不為零，
故可設(shè)其方程為x=my+$\frac{1}{2}$，并與橢圓C方程聯(lián)立，
消去x，并整理得：4（3m²+4）y²+12my-45=0，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
則y₁+y₂=-$\frac{3m}{4+3{m}^{2}}$，∴y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{3m}{4+3{m}^{2}}$，
∴x₀=my₀+$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{4+3{m}^{2}}$，
∴k=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-2}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{m}{1+{m}^{2}}$，
①當(dāng)m=0時(shí)，k=0；
②當(dāng)m≠0時(shí)，k=$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{m+\frac{1}{m}}$，
∵|m+$\frac{1}{m}$|=|m|+$\frac{1}{|m|}$≥2，
∴0＜|$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{m+\frac{1}{m}}$|≤$\frac{1}{8}$．
∴0＜|k|≤$\frac{1}{8}$，
∴-$\frac{1}{8}$≤k≤$\frac{1}{8}$且k≠0；
綜合①②可知直線MA的斜率k的取值范圍是：-$\frac{1}{8}$≤k≤$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．