Question

5．己知圓O：x²十y²=l，及A（0，$\sqrt{2}$-l），B（0，$\sqrt{2}$+l）：
①P是x軸上動點(diǎn)，當(dāng)∠APB最大時，p點(diǎn)坐標(biāo)為（±$\sqrt{2}$，0）
②過A任作一條直線，與圓O交于M、N，則$\frac{|NA|}{|NB|}$=$\sqrt{2}$-1．
③過A任作一條直線，與圓O交于M、N，則$\frac{|NA|}{|NB|}$=$\frac{|MA|}{|MB|}$成立
④任作一條直線與圓O交于M、N，則仍有$\frac{|NA|}{|NB|}$=$\frac{|MA|}{|MB|}$．
上述說法正確的是②③④．

Answer 1

分析 設(shè)出P的坐標(biāo)，求出PA，PB所在直線的斜率，利用到角公式求解當(dāng)∠APB最大時，p點(diǎn)坐標(biāo)判斷①錯誤；
設(shè)M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），計算出$\frac{|NA|}{|NB|}$、$\frac{|MA|}{|MB|}$的值，說明②③④正確．

解答 解：設(shè)P（x，0），當(dāng)x＞0時，${k}_{PA}=\frac{\sqrt{2}-1}{-x}=\frac{1-\sqrt{2}}{x}，{k}_{PB}=\frac{\sqrt{2}+1}{-x}$
∴∠APB為直線PB到直線PA的角，
則tan$∠APB=\frac{\frac{1-\sqrt{2}}{x}+\frac{1+\sqrt{2}}{x}}{1-\frac{1-2}{{x}^{2}}}=\frac{2}{x}•\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}≤1$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1，即P（1，0）時，∠APB最大，同理可得當(dāng)P（-1，0）時，∠APB最大，
∴當(dāng)∠APB最大時，p點(diǎn)坐標(biāo)為（±1，0），①錯誤；
A（0，$\sqrt{2}$-l），B（0，$\sqrt{2}$+l），
∵M(jìn)、N在圓O：x²+y²=1上，
∴可設(shè)M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），
∴|NA|=$\sqrt{（cosβ-0）^{2}+[sinβ-（\sqrt{2}-1）]^{2}}$=$\sqrt{co{s}^{2}β+si{n}^{2}β-2（\sqrt{2}-1）sinβ+3-2\sqrt{2}}$
=$\sqrt{4-2\sqrt{2}-2（\sqrt{2}-1）sinβ}$=$\sqrt{2\sqrt{2}（\sqrt{2}-1）-2（\sqrt{2}-1）sinβ}$=$\sqrt{2（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}-sinβ）}$，
|NB|=$\sqrt{（cosβ-0）^{2}+[sinβ-（\sqrt{2}+1）]^{2}}$=$\sqrt{co{s}^{2}β+si{n}^{2}β-2（\sqrt{2}+1）sinβ+3+2\sqrt{2}}$
=$\sqrt{4+2\sqrt{2}-2（\sqrt{2}+1）sinβ}$=$\sqrt{2\sqrt{2}（\sqrt{2}+1）-2（\sqrt{2}+1）sinβ}$=$\sqrt{2（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-sinβ）}$，
∴$\frac{|NA|}{|NB|}$=$\sqrt{\frac{2（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}-sinB）}{2（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-sinB）}}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}=\sqrt{2}-1$，
由M，N是圓O：x²+y²=1上任意兩點(diǎn)，∴②，④成立；
同理可得$\frac{|MA|}{|MB|}$=$\sqrt{2}-1$，∴$\frac{|NA|}{|NB|}$=$\frac{|MA|}{|MB|}$，③成立．
∴正確的說法是②③④．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了直線與圓的位置關(guān)系，用三角函數(shù)值表示單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．