Question

15．求過(guò)點(diǎn)M（4，4），并與橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1相切的直線方程．

Answer 1

分析 討論直線的斜率不存在和存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)M（4，4）的直線方程為y-4=k（x-4），代入橢圓方程，可得含k的二次方程，由判別式為0，解得k，進(jìn)而得到所求直線方程．

解答 解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線x=4與橢圓相切；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)M（4，4）的直線方程為y-4=k（x-4），
即有y=kx+4-4k，代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
可得（9+16k²）x²+128k（1-k）x+16（4-4k）²-144=0，
由直線和橢圓相切的條件可得
△=（128k（1-k））²-4（9+16k²）（16（4-4k）²-144）=0，
化簡(jiǎn)可得32k-7=0，
解得k=$\frac{7}{32}$，
即有所求直線方程為y=$\frac{7}{32}$x+$\frac{25}{8}$
或x=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的運(yùn)用，考查直線和橢圓相切的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．