Question

【題目】已知等差數列{an}的公差d≠0，它的前n項和為Sn，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比數列．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)設數列的前n項和為Tn，求證： ≤Tn＜.

Answer 1

【答案】（1）an＝4n＋2.（2）見解析

【解析】試題分析：

(1)由題意得到關于首項、公差的方程組，求解方程組可得a1＝6，d＝4.所以數列{an}的通項公式為an＝4n＋2(n∈N*)．

(2)裂項求和可得，則，結合前n項和公式可證得數列{Tn}是遞增數列，則Tn≥T1＝，據此即可證得題中的結論.

試題解析：

(1)因為數列{an}是等差數列，

所以an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋d.

依題意，有

即

解得a1＝6，d＝4.

所以數列{an}的通項公式為an＝4n＋2(n∈N*)．

(2)證明：由(1)可得Sn＝2n2＋4n.

所以＝＝＝(－)．

所以Tn＝＋＋＋…＋＋＝＋＋＋…＋·

＋＝

＝－.

因為Tn－＝－＜0，所以Tn＜.

因為Tn＋1－Tn＝＞0，所以數列{Tn}是遞增數列，

所以Tn≥T1＝.所以≤Tn＜.