Question

17．如圖設(shè)M為線段AB中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，EM交BD于G．
（Ⅰ）寫出圖中三對(duì)相似三角形，并對(duì)其中一對(duì)作出證明；
（Ⅱ）連結(jié)FG，設(shè)α=45°，AB=4$\sqrt{2}$，AF=3，求FG長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)相似三角形的判定定理可得相似三角形．對(duì)△AMF∽△BGM給出以下證明分析：利用外角定理可得∠AMD=∠B+∠BDM，∠BGM=∠DMG+∠BDM，又∠B=∠A=∠DME=α，進(jìn)而證明．
（II）由（I）可得：△AMF∽△BGM，可得BG，由已知可得△ABC為等腰直角三角形，可得AC=BC=4，進(jìn)而得出CF，CG，再利用勾股定理即可得出FG．

解答 解：（I）根據(jù)相似三角形的判定定理可得：△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM．
對(duì)△AMF∽△BGM給出以下證明：
∵∠AMD=∠B+∠BDM，∠BGM=∠DMG+∠BDM，又∠B=∠A=∠DME=α，
∴∠AMF=∠BGM，∴△AMF∽△BGM．
（II）由（I）可得：△AMF∽△BGM，∴$\frac{BG}{AM}=\frac{BM}{AF}$，∴$BG=\frac{8}{3}$，
∵∠α=45°=∠A=∠B，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∵AB=$4\sqrt{2}$，∴AC=BC=4，
∴CF=AC-AF=1，
CG=4-$\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$，
∴FG=$\sqrt{C{F}^{2}+C{G}^{2}}$=$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理、外角性質(zhì)定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．