Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸為AB，點（0，1）恰好是橢圓的一個頂點，且橢圓的離心率e=

3

2

，
過點B的直線l與x軸垂直．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設P是橢圓上異于A、B的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，
延長HP到點Q使得HP=PQ，連結AQ延長交直線l于點M，N為MB的中點．
①求點Q的軌跡；
②判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關系．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由點（0，1）是橢圓的一個頂點，且橢圓的離心率e=

3

2

，k可得

b=1 3 2 = 1- b2 a2

，解出即可．
（2））①設P（x₀，y₀），Q（x，y）．由HP=PQ，利用中點坐標公式可得

x0=x y0= 1 2 y

，代入橢圓方程即可得出；
②又A（-2，0），可得直線AQ的方程為y=

2y0

x0+2

(x+2)．令x=2，得M(2，

8y0

x0+2

)．又B（2，0），N為MB的中點，可得N(2，

4y0

x0+2

)．計算

OQ

•

NQ

即可得出．

解答： 解：（1）由點（0，1）是橢圓的一個頂點，且橢圓的離心率e=

3

2

，
∴

b=1 3 2 = 1- b2 a2

，解得b=1，a²=4．
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+y2=1．
（2）①設P（x₀，y₀），Q（x，y）．
∵HP=PQ，∴

x=x0 y=2y0

．
∴

x0=x y0= 1 2 y

∵

x02

4

+y02=1，
∴

x2

4

+

y2

4

=1，即x²+y²=4．
∴Q點在以O為圓心，2為半徑的圓上．即Q點在以AB為直徑的圓O上．
②又A（-2，0），
∴直線AQ的方程為y=

2y0

x0+2

(x+2)．
令x=2，得M(2，

8y0

x0+2

)．
又B（2，0），N為MB的中點，
∴N(2，

4y0

x0+2

)．
∴

OQ

=(x0，2y0)，

NQ

=(x0-2，

2x0y0

x0+2

)．
∴

OQ

•

NQ

=x₀（x₀-2）+

4x0 y 2 0

x0+2

=x0(x0-2)+

x0(4- x 2 0 )

x0+2

=x₀（x₀-2）+x₀（2-x₀）=0．
∴

OQ

⊥

NQ

．
∴直線QN與圓O相切．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、圓的方程、直線與圓的位置關系、中點坐標公式、向量垂直與數量積的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．