Question

19．已知函數(shù)f（x）=f（4x），當(dāng)x∈[1，4）時，f（x）=lnx，若區(qū)間[1，16）內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax有三個不同的零點(diǎn)，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$）
• B． （$\frac{ln2}{8}$，$\frac{1}{4e}$）
• C． （$\frac{ln2}{8}$，$\frac{1}{2e}$）
• D． （$\frac{ln2}{8}$，$\frac{ln2}{4}$）

Answer 1

分析 化簡f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，1≤x＜4}\\{ln\frac{x}{4}，4≤x＜16}\end{array}\right.$，作函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象可得．

解答 解：∵f（x）=f（4x），且當(dāng)x∈[1，4）時，f（x）=lnx；
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，1≤x＜4}\\{ln\frac{x}{4}，4≤x＜16}\end{array}\right.$；
作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，1≤x＜4}\\{ln\frac{x}{4}，4≤x＜16}\end{array}\right.$與函數(shù)y=ax的圖象如下，

結(jié)合圖象可知，
當(dāng)直線y=ax與f（x）=ln$\frac{x}{4}$相切時，
即$\frac{ln\frac{x}{4}}{x}$=$\frac{1}{x}$，
從而可得x=4e；
a=$\frac{1}{4e}$；
當(dāng)過點(diǎn)（16，ln4）時，
a=$\frac{ln4}{16}$=$\frac{ln2}{8}$；
結(jié)合圖象可得，
$\frac{ln2}{8}$＜a＜$\frac{1}{4e}$；
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．