Question

11．若曲線y=e^x-$\frac{a}{e^x}$（a＞0）上任意一點切線的傾斜角的取值范圍是[${\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}}$），則a=（　�。�

• A． $\frac{1}{12}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． 3

Answer 1

分析 求導f′（x）=e^x+$\frac{a}{e^x}$，從而由f′（x）=e^x+$\frac{a}{e^x}$≥$\sqrt{3}$，求解．

解答 解：f′（x）=e^x+$\frac{a}{e^x}$，
∵f（x）=e^x-$\frac{a}{e^x}$在任一點處的切線的傾斜角的取值范圍是[${\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}}$），
∴f′（x）=e^x+$\frac{a}{e^x}$≥$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{3}$≤[f′（x）]_min，
而由a＞0知，e^x+$\frac{a}{e^x}$≥2$\sqrt{a}$；
（當且僅當e^x=$\frac{a}{e^x}$時，等號成立），
故2$\sqrt{a}$=$\sqrt{3}$，故a=$\frac{3}{4}$
故選：C．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用，同時考查了導數(shù)的幾何意義的應用，屬于中檔題．