Question

4．如圖，在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∠CAB=90°，以點B為一個焦點作一個橢圓，使這個橢圓的另一個焦點在AC邊上，且這個橢圓過A、C兩點，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 通過記另一個焦點為D，易得△ABD也是直角三角形，利用勾股定理及橢圓定義可得a=3、c=$\sqrt{5}$，進而可得結論．

解答 解：如圖，記另一個焦點為D，則△ABD也是直角三角形．
∵AB=4，AC=3，∠CAB=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
由橢圓定義可知：AB+AD=CB+CD=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CA）=$\frac{1}{2}（3+4+5）$=6，
∴橢圓的長軸長2a=6，∴a=3，
設橢圓的焦距為2c，即BD=2c，
由橢圓定義可知：AD=2a-AB=6-4=2，
又∵AD=$\sqrt{B{D}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{（2c）^{2}-{4}^{2}}$，
∴2=$\sqrt{（2c）^{2}-{4}^{2}}$，解得c=$\sqrt{5}$，
∴離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
故選：A．

點評 本題考查求橢圓的離心率，注意解題方法的積累，屬于中檔題．