Question

3．若圓C的方程為（x-3）²+（y-1）²=9與直線斜率為1的直線m交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓過原點，
（1）求直線m的方程；
（2）若過點T（1，3）的直線l與圓C交于P，Q兩點，線段PQ的中點為M，求M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）利用圓系知識設出圓的方程，利用以AB為直徑的圓過原點，即可求直線m的方程；
（2）設出線段PQ的中點M的坐標，利用圓的圓心與弦垂直，通過斜率乘積為-1，即可求出M的軌跡方程．

解答 解：（1）設直線m的方程為y=x+b，即x-y+b=0，則
與圓C相交于直線m的圓的方程為（x-3）²+（y-1）²-9+λ（x-y+b）=0，圓心為（$\frac{6-λ}{2}$，$\frac{2+λ}{2}$）
∵以AB為直徑的圓過原點，
∴（0-3）²+（0-1）²-9+λb=0，$\frac{6-λ}{2}$-$\frac{2+λ}{2}$+b=0，
∴b=-1，
∴直線m的方程為y=x-1；
（2）設M（x，y）由題意可知MC⊥MT，
∵C（3，1），T（1，3）
∴$\frac{y-3}{x-1}•\frac{y-1}{x-3}$=-1
整理得（x-2）²+（y-2）²=2，
線段PQ的中點M的軌跡方程：x-2）²+（y-2）²=2．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查圓系知識，考查直線的垂直關系的應用，考查計算能力，轉化思想．