Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，首項(xiàng)為a₁，且

1

2

，a_n，S_n成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若an2=（

1

2

） bn，設(shè)c_n=

bn

an

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)得：2an=Sn+

1

2

，再令n=1可求a₁，利用n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1可得a_n=2a_n-1，可證數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，再求出它的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）和條件求出b_n和c_n，再利用錯(cuò)位相減法即可求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）由題意知2an=Sn+

1

2

，an＞0
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₁+

1

2

，∴a₁=

1

2

，
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=2an-

1

2

，Sn-1=2an-1-

1

2

，
兩式相減得，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
得：

an

an-1

=2，
∴數(shù)列{a_n}是以

1

2

為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
則an=a1?2n-1=

1

2

×2n-1=2n-2；
（2）由題意得，

a

2 n

=2-bn=22n-4，則b_n=4-2n，
∴Cn=

bn

an

=

4-2n

2n-2

=

16-8n

2n

，
∴Tn=

8

2

+

0

22

+

-8

23

+…

24-8n

2n-1

+

16-8n

2n

①

1

2

Tn=

8

22

+

0

23

+…+

24-8n

2n

+

16-8n

2n+1

 ②
①-②得，

1

2

Tn=4-8(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

16-8n

2n+1

，

=4-8? 1 22 (1- 1 2n-1 ) 1- 1 2 - 16-8n 2n+1 =4-4(1- 1 2n-1 )- 16-8n 2n+1 = 4n 2n

∴Tn=

8n

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列中a_n與S_n關(guān)系式的應(yīng)用，定義法判斷數(shù)列是等比數(shù)列，以及利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查了學(xué)生的計(jì)算化簡(jiǎn)能力．