Question

1．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若（a+b）（sinA-sinB）=c（sinA-sinC）．
（1）求角B的大小；
（2）設(shè)BC中點(diǎn)為D，且AD=$\sqrt{3}$，求a+2c的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得a²+c²-b²=ac，由余弦定理可求cosB=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍B∈（0，π），即可求B的值．
（2）設(shè)∠BAD=θ，則$θ∈（{0，\frac{2π}{3}}）$，由正弦定理可得BD=2sinθ，$AB=2sin（{\frac{2π}{3}-θ}）=\sqrt{3}cosθ+sinθ$，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得：$a+2c=2\sqrt{3}cosθ+6sinθ=4\sqrt{3}sin（{θ+\frac{π}{6}}）$，由$θ∈（{0，\frac{2π}{3}}）$，可求$θ+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}）$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解最大值．

解答 （本題滿(mǎn)分為12分）
解：（1）在△ABC中，∵（a+b）（sinA-sinB）=c（sinA-sinC）
∴由正弦定理可得：（a+b）（a-b）=c（a-c），
即a²+c²-b²=ac，…（2分）
由余弦定理可知$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{1}{2}$，…（4分）
∵B∈（0，π），
∴$B=\frac{π}{3}$…（5分）
（2）∵設(shè)∠BAD=θ，則在△ABD中，
由$B=\frac{π}{3}$可知$θ∈（{0，\frac{2π}{3}}）$，
由正弦定理及$AD=\sqrt{3}$可得$\frac{BD}{sinθ}=\frac{AB}{{sin（{\frac{2π}{3}-θ}）}}=\frac{AD}{{sin\frac{π}{3}}}=2$，…（7分）
∴BD=2sinθ，$AB=2sin（{\frac{2π}{3}-θ}）=\sqrt{3}cosθ+sinθ$，…（8分）
∴$a+2c=2\sqrt{3}cosθ+6sinθ=4\sqrt{3}sin（{θ+\frac{π}{6}}）$，…（10分）
由$θ∈（{0，\frac{2π}{3}}）$可知$θ+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}）$，
∴當(dāng)$θ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{3}$時(shí)，a+2c的最大值為$4\sqrt{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．