Question

10．設(shè)A是由一些實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，若a∈A，則$\frac{1}{1-a}$∈A，且1∉A
（1）若3∈A，求A；
（2）證明：若a∈A，則1-$\frac{1}{a}$∈A；
（3）A能否只有一個(gè)元素，若能，求出集合A，若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)集合A的定義，找出A的所有元素即可；
（2）有集合A的定義證明即可；
（3）假設(shè)A只有一個(gè)元素，然后轉(zhuǎn)化為一元二次方程解的問題．

解答 ．解：（1）∵3∈A，∴$\frac{1}{1-3}=-\frac{1}{2}∈A$，
∴$\frac{1}{{1-（-\frac{1}{2}）}}=\frac{2}{3}∈A$，
∴$\frac{1}{{1-\frac{2}{3}}}=3∈A$
∴$A=\left\{{3，-\frac{1}{2}，\frac{2}{3}}\right\}$
（2）∵a∈A，
∴$\frac{1}{1-a}∈A$，
∴$\frac{1}{{1-\frac{1}{1-a}}}=\frac{1-a}{-a}=1-\frac{1}{a}∈A$
（3）假設(shè)集合A只有一個(gè)元素，記A={a}，則$a=\frac{1}{1-a}$
即a²-a+1=0有且只有一個(gè)解，
又因?yàn)椤?（-1）²-4=-3＜0
∴a²-a+1=0無實(shí)數(shù)解．
與a²-a+1=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解解矛盾．
所以假設(shè)不成立．即集合A不能只有一個(gè)元素．

點(diǎn)評(píng) 本題是新概念的題目，考查了元素與集合的關(guān)系的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題