Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-bx的圖象與x軸相切于點(diǎn)（1，0）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在[-1，2]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²-2ax-b．依題意，得

f(1)=0 f′(1)=0

，由此求出f（x）=x³-2x²+x．
（2）由f′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）f（-1）=-4，f(

1

3

)=

4

27

，f（1）=0，f（2）=2，由此能求出函數(shù)f（x）在[-1，2]上的最值．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）由f（x）=x³-ax²-bx，
得f'（x）=3x²-2ax-b．（1分）
依題意，得

f(1)=0 f′(1)=0

，即

1-a-b=0 3-2a-b=0

，（5分）
解得

a=2 b=-1

，
所以f（x）=x³-2x²+x．（6分）
（2）由（1）得f'（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1）（7分）
令f′（x）＞0，得x＜

1

3

或x＞1，（8分）
令f′（x）＜0，得

1

3

＜x＜1．（9分）
因此f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，

1

3

)，（1，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為(

1

3

，1)．（10分）
（3）因?yàn)閒（-1）=-4，f(

1

3

)=

4

27

，
f（1）=0，f（2）=2，（12分）
所以f（x）在[-1，2]上的最大值為2，
最小值為-4．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．