Question

9．已知圓x²+y²-x-6y+m=0與直線2x+y-3=0交于M、N兩點，O為坐標原點，文是否存在實數(shù)m，使OM⊥ON，若存在，求出m的值若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 設(shè)出M，N的坐標，根據(jù)OM⊥ON可推斷出 $\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，把M，N坐標代入求得關(guān)系式，把直線方程與圓的方程聯(lián)立消去y，利用韋達定理表示出x_M+x_N和x_M•x_N，利用直線方程求得y_M•y_NN的表達式，最后聯(lián)立方程求得m，利用判別式驗證成立，答案可得．

解答 解：設(shè)點M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）
當OM⊥OM時，K_oM•K_ON=-1⇒x_Mx_N+y_My_N=0（1）
又直線與圓相交于P、Q⇒$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-3=0}\\{{x}^{2}{+y}^{2}-x-6y+m=0}\end{array}\right.$的根是M、N坐標
⇒是方程5x²-x+m-9=0的兩根
有：x_M+x_N=$\frac{1}{5}$，x_M•x_N=$\frac{m-9}{5}$，
又M、N在直線2x+y-3=0上，則y_M•y_N=（3-2x_M）•（3-2x_N）=9-6（x_M+x_N）+4x_M•x_N，
∴$\frac{m-9}{5}$+$\frac{4（m-9）}{4}$-6×$\frac{1}{5}$+9=0，解得：m=$\frac{6}{5}$，且檢驗△＞O成立，
故存在m=$\frac{6}{5}$，使OM⊥ON．

點評 本題主要考查了圓的方程的綜合運用．本題的最后對求得的結(jié)果進行驗證是不可或缺的步驟，保證了結(jié)果的正確性．