Question

6．已知數列{a_n}的前n項和S_n與通項a_n滿足S_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{8}{3}$．
（1）設b_n=log₂a_n，求數列{b_n}的通項公式．
（2）設c_n=$\frac{_{n}}{（_{n}+1）^{2}{n}^{2}}$，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{8}{3}$，當n=1時，a₁=$\frac{4}{3}{a}_{1}-\frac{8}{3}$，解得a₁．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．利用等比數列的通項公式可得a_n．再利用對數的運算性質可得：b_n．
（2）設c_n=$\frac{2n+1}{（2n+2）^{2}•{n}^{2}}$=$\frac{1}{4}[\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}]$，利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{8}{3}$，
∴當n=1時，a₁=$\frac{4}{3}{a}_{1}-\frac{8}{3}$，解得a₁=8．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{8}{3}$-$（\frac{4}{3}{a}_{n-1}-\frac{8}{3}）$，化為a_n=4a_n-1．
∴數列{a_n}是等比數列，首項為8，公比為4．
∴${a}_{n}=8×{4}^{n-1}$=2²ⁿ⁺¹．
∴b_n=log₂a_n=2n+1．
（2）設c_n=$\frac{_{n}}{（_{n}+1）^{2}{n}^{2}}$=$\frac{2n+1}{（2n+2）^{2}•{n}^{2}}$=$\frac{1}{4}[\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}]$，
∴T_n=$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{{2}^{2}}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{3}^{2}}）$+…+$（\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}）]$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{（n+1）^{2}}）$
=$\frac{{n}^{2}+2n}{4（n+1）^{2}}$．

點評 本題考查了遞推關系的應用、等比數列的通項公式、對數的運算性質、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．