Question

16．已知（1，2）是直線l被橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1所截得的線段的中點，則l的方程是3x+2y-7=0．

Answer 1

分析 設直線l與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用點差法能求出直線l的方程．

解答 解：設直線l與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵（1，2）是直線l被橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1所截得的線段的中點，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=4，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，兩式相減，
得：12（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴24（x₁-x₂）+16（y₁-y₂）=0，
∴k=-$\frac{3}{2}$，
∴直線l的方程為y-2=-$\frac{3}{2}$（x-1），
整理，得3x+2y-7=0．
故答案為：3x+2y-7=0．

點評 本題考查橢圓的中點弦方程，解題的常規(guī)方法是“點差法”．