Question

7．畫出方程x⁴-x²=y⁴-y²的曲線C，并回答下列問題：
（1）若點(diǎn)A（m，$\sqrt{2}$）在曲線C上，求m的值；
（2）若直線y=a（a∈R）與曲線C分別有一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)、四個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)A（m，$\sqrt{2}$）在曲線C上，代入方程，即可求m的值；
（2）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=±x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得直線與圓的四個(gè)交點(diǎn)A（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），E（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），D（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），結(jié)合圖象，求a的取值范圍．

解答 解：原方程可化為（x²-y²）（x²+y²-1）=0即  y=±x或x²+y²=1．故方程的曲線C如圖所示
（1）∵點(diǎn)A（m，$\sqrt{2}$）在曲 線C上，
∴（m²-2）[m²+（$\sqrt{2}$）²-1]=0，
解之，有m=±$\sqrt{2}$．　　                              
（2）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=±x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得直線與圓的四個(gè)交點(diǎn)A（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），E（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），D（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），結(jié)合圖象可知：
當(dāng)直線y=a與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)：
a＞1或a＜-1，或a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或a=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)直線y=a與曲線C有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)：
a=1或a=-1，或a=0，
當(dāng)直線y=a與曲線C有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)：
0＜a＜1且a≠$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或-1＜a＜0且a≠-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由曲線的對(duì)稱性知，直線y=a與曲線C不會(huì)只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在實(shí)數(shù)a，使直線y=a與曲線C有一個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線與方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．