Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過兩點M（0，m）和N（$\sqrt{3}$m，$\frac{1}{2}$m），（m＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C的左、右焦點．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）直線MF₂交橢圓C另外一點為E，且四邊形MF₁EN的面積為$\frac{10\sqrt{3}}{7}$，求橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意，b=m，$\frac{3{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{4}{m}^{2}}{{m}^{2}}$=1，可得a=2m，c=$\sqrt{3}$m，即可求橢圓C的離心率；
（2）由（1）可得橢圓的方程為x²+4y²=4m²，直線ME的方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m，代入橢圓方程，求出E的坐標，進而求出△MF₁E的面積，△MNE的面積，利用四邊形MF₁EN的面積為$\frac{10\sqrt{3}}{7}$，求出m，即可求橢圓的方程．

解答 解：（1）由題意，b=m，$\frac{3{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{4}{m}^{2}}{{m}^{2}}$=1，∴a=2m，
∴c=$\sqrt{3}$m，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）由（1）可得橢圓的方程為x²+4y²=4m²，
直線ME的方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m，代入橢圓方程可得7x²-8$\sqrt{3}$mx=0，
∴E（$\frac{8}{7}$$\sqrt{3}$m，-$\frac{m}{7}$），
∴△MF₁E的面積為$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}m×\frac{8}{7}m$=$\frac{8\sqrt{3}}{7}{m}^{2}$，
直線NE的方程為y-$\frac{m}{2}$=$\frac{\frac{m}{2}+\frac{m}{7}}{\sqrt{3}m-\frac{8\sqrt{3}}{7}m}$（x-$\sqrt{3}$m），令y=0，可得x=$\frac{10\sqrt{3}}{9}$m，
∴△MNE的面積為$\frac{1}{2}×\frac{m}{2}×\sqrt{3}m$+$\frac{1}{2}×（\frac{10\sqrt{3}}{9}m-\sqrt{3}m）×（\frac{m}{2}+\frac{m}{7}）$=$\frac{2\sqrt{3}}{7}{m}^{2}$，
∵四邊形MF₁EN的面積為$\frac{10\sqrt{3}}{7}$，
∴$\frac{8\sqrt{3}}{7}{m}^{2}$+$\frac{2\sqrt{3}}{7}{m}^{2}$=$\frac{10\sqrt{3}}{7}$，
∴m=1，
∴橢圓的方程為x²+4y²=4．

點評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，正確求面積是關(guān)鍵．