Question

9．已知定點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），P為圓F₁：（x+1）²+y²=8上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M滿足（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{M{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}P}$（0≤λ≤1）．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，y），求證：|MF₂|=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x；
（Ⅲ）過點(diǎn)F₂作直線l交C于A，B兩點(diǎn)，求$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{2}|}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式，化簡條件，確定M的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，長軸長為2$\sqrt{2}$的橢圓，即可求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）證明|F₁M|=$\sqrt{（x-1）^{2}+1-\frac{{x}^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|x-2|，即可證明|MF₂|=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x；
（Ⅲ）分類討論，利用韋達(dá)定理，即可求出$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{2}|}$．

解答 解：（Ⅰ）∵點(diǎn)M滿足（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{M{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，
∴（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{M{F}_{2}}$）•（$\overrightarrow{MP}$-$\overrightarrow{M{F}_{2}}$）=（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{M{F}_{2}}$）•（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{M{F}_{2}}$）=$\overrightarrow{MP}$²-$\overrightarrow{M{F}_{2}}$²=0，
即|$\overrightarrow{MP}$|=|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|．
又$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}P}$，∴F₁，M，P三點(diǎn)共線，
由題意知M在線段F₁P上，∴|F₁M|+|MP|=2$\sqrt{2}$
∴|F₁M|+|MF₂|=2$\sqrt{2}$，
∴M的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，長軸長為2$\sqrt{2}$的橢圓，
∴M的軌跡C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；  （4分）
（Ⅱ）設(shè)M（x，y），|F₁M|=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
又∵$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
∴|F₁M|=$\sqrt{（x-1）^{2}+1-\frac{{x}^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|x-2|
∴-2≤x≤2，
∴|MF₂|=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x；
（Ⅲ）（1）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，|AF₂|=|BF₂|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{2}|}$=2$\sqrt{2}$，（8分）
（1）當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直線l與$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$聯(lián)立得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
韋達(dá)定理得：x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$
由（Ⅱ）問結(jié)論知|AF₂|=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₁；|BF₂|=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₂；
∴$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{2}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{1}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2-（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{1}{2}{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+{k}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
綜上$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{2}|}$=2$\sqrt{2}$ （12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．