Question

7．貴陽一中食堂分為平行部食堂和國(guó)際部食堂，某日午餐時(shí)間，某寢室4名學(xué)生在選擇就餐食堂時(shí)約定：每人通過擲一牧質(zhì)地均勻的骰子決定自己去哪個(gè)食堂就餐，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去國(guó)際部食堂就餐，且每個(gè)人必須從平行部食堂和國(guó)際部食堂中選一個(gè)食堂就餐．
（I）求這4名學(xué)生中恰有2人去國(guó)際部食堂就餐的概率；
（Ⅱ）用x，y分別表示這4人中去國(guó)際部食堂和平行部食堂就餐的人數(shù)，記ξ=xy，求隨機(jī)變量ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）每名同學(xué)到去國(guó)際部食堂就餐的概率p=$\frac{1}{3}$，去平行部食堂就餐的概率為$\frac{2}{3}$，由此能求出這4名學(xué)生中恰有2人去國(guó)際部食堂就餐的概率．
（Ⅱ）用x，y分別表示這4人中去國(guó)際部食堂和平行部食堂就餐的人數(shù)，記ξ=xy，由已知得ξ的可能取值為0，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）∵每人通過擲一牧質(zhì)地均勻的骰子決定自己去哪個(gè)食堂就餐，
擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去國(guó)際部食堂就餐，且每個(gè)人必須從平行部食堂和國(guó)際部食堂中選一個(gè)食堂就餐，
∴每名同學(xué)到去國(guó)際部食堂就餐的概率p=$\frac{1}{3}$，去平行部食堂就餐的概率為1-p=$\frac{2}{3}$，
∴這4名學(xué)生中恰有2人去國(guó)際部食堂就餐的概率：
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{8}{27}$．
（Ⅱ）用x，y分別表示這4人中去國(guó)際部食堂和平行部食堂就餐的人數(shù)，記ξ=xy，
由已知得ξ的可能取值為0，3，4，
P（ξ=0）=${C}_{4}^{0}（\frac{2}{3}）^{4}+{C}_{4}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{17}{81}$，
P（ξ=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$+${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{40}{81}$，
P（ξ=4）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{8}{27}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	3	4
P	$\frac{17}{81}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{8}{27}$

Eξ=$3×\frac{40}{81}$+4×$\frac{8}{27}$=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．