Question

4．已知x∈R⁺，函數(shù)f（$\frac{1}{x}$）=-f（x），f（$\frac{2}{x}$）=-f（2x），若x∈[1，2]時(shí)，f（x）=（x-1）（x-2），則函數(shù)y=f（x）+$\frac{1}{4}$在區(qū)間[1，100]內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4．

Answer 1

分析 由條件，將x換為2x，可得f（x）=f（4x），分別求得區(qū)間[2，4]，[4，8]，[8，16]，[16，32]，[32，64]，[64，128]內(nèi)的函數(shù)的解析式，再由f（x）=-$\frac{1}{4}$，解方程即可判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：函數(shù)f（$\frac{1}{x}$）=-f（x），f（$\frac{2}{x}$）=-f（2x），
即有f（$\frac{1}{2x}$）=-f（2x），則f（$\frac{2}{x}$）=f（$\frac{1}{2x}$），
即為f（x）=f（4x），
當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=（x-1）（x-2），
當(dāng)$\frac{1}{4}$≤x≤$\frac{1}{2}$時(shí)，1≤4x≤2，f（4x）=（4x-1）（4x-2），
即f（x）=（4x-1）（4x-2）；
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤x≤1時(shí)，1≤$\frac{1}{x}$≤2，f（x）=-f（$\frac{1}{x}$）=-（$\frac{1}{x}$-1）（$\frac{1}{x}$-2）；
當(dāng)2≤x≤4時(shí)，$\frac{1}{2}$≤$\frac{x}{4}$≤1，f（x）=f（$\frac{x}{4}$）=-（$\frac{4}{x}$-1）（$\frac{4}{x}$-2）；
當(dāng)4≤x≤8時(shí)，1≤$\frac{x}{4}$≤2，f（x）=f（$\frac{x}{4}$）=（$\frac{x}{4}$-1）（$\frac{x}{4}$-2）；
當(dāng)8≤x≤16時(shí)，2≤$\frac{x}{4}$≤4，f（x）=f（$\frac{x}{4}$）=-（$\frac{16}{x}$-1）（$\frac{16}{x}$-2）；
當(dāng)16≤x≤32時(shí)，4≤$\frac{x}{4}$≤8，f（x）=f（$\frac{x}{4}$）=（$\frac{x}{16}$-1）（$\frac{x}{16}$-2）；
當(dāng)32≤x≤64時(shí)，8≤$\frac{x}{4}$≤16，f（x）=f（$\frac{x}{4}$）=-（$\frac{64}{x}$-1）（$\frac{64}{x}$-2）；
當(dāng)64≤x≤128時(shí)，16≤$\frac{x}{4}$≤32，f（x）=f（$\frac{x}{4}$）=（$\frac{x}{64}$-1）（$\frac{x}{64}$-2）．
令y=f（x）+$\frac{1}{4}$=0，即為f（x）=-$\frac{1}{4}$，
當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=（x-1）（x-2），由f（x）=-$\frac{1}{4}$，解得x=$\frac{3}{2}$；
同理當(dāng)x∈[4，8]時(shí)，由f（x）=-$\frac{1}{4}$，解得x=6；
當(dāng)x∈[16，32]時(shí)，由f（x）=-$\frac{1}{4}$，解得x=24；
當(dāng)x∈[64，100]時(shí)，由f（x）=-$\frac{1}{4}$，解得x=96；
當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f（x）=-（$\frac{4}{x}$-1）（$\frac{4}{x}$-2），由f（x）=-$\frac{1}{4}$，x∈∅；
同理8≤x≤16時(shí)，由f（x）=-$\frac{1}{4}$，x∈∅；
32≤x≤64時(shí)，由f（x）=-$\frac{1}{4}$，x∈∅．
綜上可得，函數(shù)y=f（x）+$\frac{1}{4}$在區(qū)間[1，100]內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的求法，注意運(yùn)用函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，同時(shí)考查函數(shù)的解析式的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．