Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=2x³⁺ax²+bx+1的圖象在（-1，f（-1））處的切線方程為12x+y-2=0．
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，然后利用切線方程，得到方程組，即可求解a，b．
（Ⅱ）求出極值點(diǎn)，通過(guò)列表判斷函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解極值．

解答 （本題滿分12分）
解：（Ⅰ）f'（x）=6x²+2ax+b…（1分）
因?yàn)閒（x）在（-1，f（-1））處的切線方程為12x+y-2=0
所以f'（-1）=-12，f（-1）=14…（2分）
所以$\left\{\begin{array}{l}f'（-1）=-12\\ f（-1）=14\end{array}\right.$…（4分）
即：$\left\{\begin{array}{l}6-2a+b=-12\\-2+a-b+1=14\end{array}\right.$
所以$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=-12\end{array}\right.$…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=2x³+3x²-12x+1，
所以f'（x）=6x²+6x-12
令f'（x）=6x²+6x-12=0，解得：x₁=-2，x₂=1…（8分）

x	（-∞，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-1	0	+
f（x）	↑	21	↓	-6	↑

…（10分）
所以函數(shù)f（x）在x=-2處取得極大值f（-2）=21，
在x=1處取得極小值f（1）=-6．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及切線方程的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．