Question

10．設(shè)S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）若{a_n}是等差數(shù)列，試證明：S_n=$\frac{{n（{a_1}+{a_n}）}}{2}$；
（Ⅱ）若a₁=1，q≠0，且對(duì)所有的正整數(shù)n，有S_n=$\frac{{1-{q^n}}}{1-q}$，判斷{a_n}是否為等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、倒序相加法即可得出．
（II）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式定義、遞推關(guān)系即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：設(shè){a_n}的公差為d，則S_n=a₁+a₂+…+a_n=a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）+…+[a₁+（n-1）d]，
又S_n=a_n+（a_n-d）+（a_n-2d）+…+[a_n-（n-1）d]，
∴2S_n=n（a₁+a_n）
∴${S_n}=\frac{{n（{a_1}+{a_n}）}}{2}$．
（Ⅱ）解：{a_n}是等比數(shù)列．
證明如下：
∵${S_n}=\frac{{1-{q^n}}}{1-q}$
∴${a_{n+1}}={S_{n+1}}-{S_n}=\frac{{1-{q^{n+1}}}}{1-q}-\frac{{1-{q^n}}}{1-q}={q^n}$，
∵a₁=1，q≠0，
∴當(dāng)n≥1時(shí)，有$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=q$．
因此，{a_n}是以1為首項(xiàng)，且公比為q的等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式及其求和公式、遞推關(guān)系、倒序相加法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．