Question

18．某公司為合理定價，在試銷期間得到單價x（單位：元）與銷售量y（單位：件）的數(shù)據(jù)如表：

單價x	80	82	84	86	88	90
銷量y	90	84	83	80	75	68

（Ⅰ）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$；
（Ⅱ）預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（Ⅰ）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是75元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？最大利潤是多少？（利潤=銷售收入-成本）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得的樣本中心點（$\overline{x}$，$\overline{y}$），利用最小二乘法求的$\widehat$及$\widehat{a}$，即可求得線性回歸方程；
（Ⅱ）將線性回歸方程代入求得利潤公式，把所給的x的值代入利潤公式z，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案．

解答 解（I）$\overline x=\frac{1}{6}（80+82+84+86+88+90）=85$…（1分）
$\overline{y}$=$\frac{1}{6}$（90+84+83+80+75+68）=80…（2分）
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=-2，…（4分），則$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=250，…（6分）
∴線性回歸方程為$\widehat{y}$=-2x+250．…（7分）
（II）預(yù)計公司獲得利潤z=（x-75）•y=-2x²+400x-18750…（9分）
當x=100時，函數(shù)取最大值為1250（元）．…（11分）
答：當該產(chǎn)品定價為100元/件時，利潤最大為1250元．…（12分）

點評 本題考查利用最小二乘法求線性回歸方程，考查回歸方程的意義和求法，考查數(shù)據(jù)處理的基本方法和能力，考查利用統(tǒng)計思想解決實際問題的能力，屬于中檔題．