Question

10．設(shè)A，B為拋物線y²=2px（p＞0）上不同的兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA丄OB，則△OAB面積的最小值為4p²．

Answer 1

分析 先設(shè)直線的方程為斜截式（有斜率時(shí)），代入拋物線，利用OA⊥OB找到k，b的關(guān)系，然后利用弦長(zhǎng)公式將面積最后表示成k的函數(shù)，然后求其最值即可．最后求出沒(méi)斜率時(shí)的直線進(jìn)行比較得最終結(jié)果．

解答 解：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+b．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$消去y得k²x²+（2kb-2p）x+b²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意得△=（2kb-2p）²-4k²b²＞0，即kb＜$\frac{p}{2}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2p-2kb}{{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{^{2}}{{k}^{2}}$，
所以${y}_{1}{y}_{2}={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+kb（{x}_{1}+{x}_{2}）+^{2}$=$\frac{2bp}{k}$．
所以由OA⊥OB得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=\frac{^{2}}{{k}^{2}}+\frac{2pbk}{{k}^{2}}=0$
所以b=-2pk，①代入直線方程得y=kx-2pk=k（x-2p），
所以直線l過(guò)定點(diǎn)（2p，0）．
再設(shè)直線l方程為x=my+2p，代入y²=2px得y²-2pmy-4p²=0，
所以y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-4p²，所以$|{y}_{1}-{y}_{2}|=\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{4{m}^{2}{p}^{2}+16{p}^{2}}=\sqrt{（4{m}^{2}+16）{p}^{2}}$=$\sqrt{4{m}^{2}+16}p$，
所以S=$\frac{1}{2}×2{p}^{2}×\sqrt{4{m}^{2}+16}$，
所以當(dāng)m=0時(shí)，S的最小值為4p²．
故答案為：4p²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系中的弦長(zhǎng)問(wèn)題中的最值問(wèn)題，一般先結(jié)合韋達(dá)定理將要求最值的量表示出來(lái)，然后利用函數(shù)思想或基本不等式求最值即可．