Question

13．如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E、F分別為邊CC₁、B₁C₁的中點，點G、H分別在AA₁、D₁A₁上，且滿足AA₁=3AG，D₁H=2HA₁，則異面直線EF、GH所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線EF、GH所成角的余弦值．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
由題意E（0，2，1），F(xiàn)（1，2，2），G（2，0，$\frac{2}{3}$），H（$\frac{4}{3}$，0，2），
$\overrightarrow{EF}$=（1，0，1），$\overrightarrow{GH}$=（-$\frac{2}{3}$，0，$\frac{4}{3}$），
設異面直線EF、GH所成角的為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{GH}|}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{GH}|}$=$\frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{2}•\sqrt{\frac{20}{9}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴異面直線EF、GH所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．