Question

2．△ABC中，A，B，C成等差數(shù)列，a²=b²+c²-$\sqrt{3}$bc，又a，b，c+4成等比數(shù)列．
（1）求A，B，C．
（2）求a，b，c
（3）求△ABC的面積S以及△ABC的外接圓半徑．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列和三角形的內(nèi)角和可得B=$\frac{π}{3}$，再由余弦定理可得cosA，可得A值，進(jìn)而可得C值；
（2）由（1）的三個角，可設(shè)a=k，b=$\sqrt{3}$k，c=2k，k為正數(shù)，由等比數(shù)列解k的方程可得；
（3）由直角三角形的面積公式以及和圓的位置關(guān)系可得．

解答 解：（1）∵△ABC中，A，B，C成等差數(shù)列，
∴2B=A+C，再由A+B+C=π可得B=$\frac{π}{3}$，
又∵a²=b²+c²-$\sqrt{3}$bc，∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{6}$，C=π-A-B=$\frac{π}{2}$；
（2）由（1）可得A=$\frac{π}{6}$，B=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{π}{2}$，
∴由可設(shè)a=k，b=$\sqrt{3}$k，c=2k，k為正數(shù)，
又∵a，b，c+4成等比數(shù)列，
∴b²=a（c+4），∴3k²=k（2k+4），
解方程可得k=4，
∴a=4，b=4$\sqrt{3}$，c=8；
（3）∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
△ABC的外接圓半徑R滿足2R=8，解得R=4

點評 本題考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面積公式，屬中檔題．