Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=|log_ax|（0＜a＜1）的定義域?yàn)閇m，n]（m＜n），值域?yàn)閇0，1]，若n-m的最小值為$\frac{1}{3}$，則實(shí)數(shù)a=$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 通過(guò)分類討論和利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：①若1≤m＜n，則f（x）=-log_ax，
∵f（x）的值域?yàn)閇0，1]，∴f（m）=0，f（n）=1，解得m=1，n=$\frac{1}{a}$，
又∵n-m的最小值為$\frac{1}{3}$，∴$\frac{1}{a}$-1≥$\frac{1}{3}$，及0＜a＜1，
當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，解得a=$\frac{3}{4}$，符合題意；
②若0＜m＜n＜1，則f（x）=log_ax，
∵f（x）的值域?yàn)閇0，1]，∴f（m）=1，f（n）=0，解得m=a，n=1，
又∵n-m的最小值為$\frac{1}{3}$，∴1-a≥$\frac{1}{3}$，及0＜a＜1，當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，解得a=$\frac{2}{3}$；
③若0＜m＜1＜n時(shí)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得不滿足題意．
故答案為：$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握分類討論的思想方法和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．