Question

16．已知△ABC外接圓O的半徑為$\frac{3}{2}$，P為圓O上一點(diǎn)，且|$\overrightarrow{BC}$|=1，則$\overrightarrow{BC}$$•\overrightarrow{BP}$的最大值是2．

Answer 1

分析 如圖所示，取BC的中點(diǎn)D，分別以BC、OD所在直線建立直角坐標(biāo)系，則B$（-\frac{1}{2}，0）$，C$（\frac{1}{2}，0）$．可得OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$，令P（x，y），$（-\frac{3}{2}≤x≤\frac{3}{2}）$．則$\overrightarrow{BC}$$•\overrightarrow{BP}$═x$+\frac{1}{2}$，即可得出．

解答 解：如圖所示，
取BC的中點(diǎn)D，分別以BC、OD所在直線建立直角坐標(biāo)系，
則B$（-\frac{1}{2}，0）$，C$（\frac{1}{2}，0）$．
OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
則⊙O的標(biāo)準(zhǔn)方程為：${x}^{2}+（y-\sqrt{2}）^{2}=\frac{9}{4}$，
令P（x，y），$（-\frac{3}{2}≤x≤\frac{3}{2}）$．
則$\overrightarrow{BC}$$•\overrightarrow{BP}$=（1，0）•$（x+\frac{1}{2}，y）$=x$+\frac{1}{2}$≤2，當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，取等號(hào)．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的性質(zhì)、垂經(jīng)定理、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．