Question

4．如圖，在△ABC中，設(shè)$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，又$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=1$，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）用$\overrightarrow a，\overrightarrow b$表示$\overrightarrow{AD}$；
（Ⅱ）若點E是AC邊的中點，直線BE交AD于F點，求$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BC}$．

Answer 1

分析 （1）對幾何圖形得出平面向量的運用．
（2）根據(jù)中點得出點E是AC邊的中點，$\frac{|DM|}{|AE|}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{|DM|}{|AE|}$=$\frac{|DM|}{|AM|}$=$\frac{2}{3}$，利用得出$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{AB}$=（$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{a}$$+\frac{2}{5}$$\overrightarrow$）$•\overrightarrow{a}$=$\frac{1}{5}$（|$\overrightarrow{a}$|）²$+\frac{2}{5}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos$\frac{π}{3}$=$\frac{4}{5}$$+\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$，
$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BC}=\frac{3}{5}-\frac{6}{5}=-\frac{3}{5}$．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}$$+\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$$+\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AC}$$-\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$$+\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$$+\frac{2}{3}$$\overrightarrow$
（2）過D點作DM∥AC，交BE與點M，
∵$\overrightarrow{BD}$=2DC，DM∥AC，
∴$\frac{|DM|}{|CE|}$=$\frac{|BD|}{|BC|}$=$\frac{2}{3}$，
又∵點E是AC邊的中點，
∴$\frac{|DM|}{|AE|}$=$\frac{2}{3}$，
∵DM∥AC，
∴$\frac{|DM|}{|AE|}$=$\frac{|DM|}{|AM|}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\overrightarrow{AF}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{3}{5}$（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$$+\frac{2}{3}$$\overrightarrow$）=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{a}$$+\frac{2}{5}$$\overrightarrow$，
$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AF}$（$\overrightarrow{AC}$$-\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AF•}\overrightarrow{AB}$
又 AF•AC=（$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{a}$$+\frac{2}{5}$$\overrightarrow$）$•\overrightarrow$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$$+\frac{2}{5}$|$\overrightarrow$|²=$\frac{1}{5}$|$\overrightarrow{a}$|$•|\overrightarrow|$cos$\frac{π}{3}$$+\frac{2}{5}$|$\overrightarrow$|²
$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{AB}$=（$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{a}$$+\frac{2}{5}$$\overrightarrow$）$•\overrightarrow{a}$=$\frac{1}{5}$（|$\overrightarrow{a}$|）²$+\frac{2}{5}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos$\frac{π}{3}$=$\frac{4}{5}$$+\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BC}=\frac{3}{5}-\frac{6}{5}=-\frac{3}{5}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積，平面向量的運算，屬于中檔題，關(guān)鍵是對向量的分解轉(zhuǎn)化，屬于幾何幾何圖形的題目．