Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²+2x+2，x∈[a，a+2]，a∈R．
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）求函數(shù)的最大值；
（3）若f（x）的最小值為2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由題意得，分析區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系，即可得到最小值．
（2）由題意得，分析區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系，即可得到最大值．
（3）由（1）得，最小值為2時(shí)，得到a的值．

解答 解：（1）∵f（x）=x²+2x+2=（x+1）²+1，
∵x∈[a，a+2]，
①a≤-3時(shí)，f（x）最小值為f（a+2）=a²+6a+10，
②-3＜a＜-1時(shí)，f（x）最小值為f（-1）=1，
③a≥-1時(shí)，f（x）最小值為f（a）=a²+2a+2，
（2）∵f（x）=x²+2x+2=（x+1）²+1，
x∈[a，a+2]，
①a≤-2時(shí)，f（x）的最大值為f（a））=a²+2a+2，
②a＞-2時(shí)，f（x）的最大值為f（a+2）=a²+6a+10，
（3）由（1）得
①a≤-3時(shí)，f（x）最小值為f（a+2）=a²+6a+10=2，得：a=-4，
②-3＜a＜-1時(shí)，f（x）最小值為f（-1）=1=2，舍掉，
③a≥-1時(shí)，f（x）最小值為f（a）=a²+2a+2=2，得：a=0
綜上所述a=-4或0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，需分類討論．