Question

2．P為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左右焦點(diǎn)，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，$\overrightarrow{P{F}_{2}}$所成角為60°，則△F₁PF₂的面積是（　�。�

• A． 9
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． 3
• D． 9$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)|PF₁|=m，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知|F₁F₂|=10，|PF₂|=m+8．在△F₁PF₂中使用余弦定理解出m，代入三角形的面積公式即可得出面積．

解答 解：a=4，c=5．
∴|F₁F₂|=2c=10．
不妨設(shè)P在雙曲線左支上，由雙曲線的定義可知|PF₂|-|PF₁|=2a=8．
設(shè)|PF₁|=m，則|PF₂|=m+8．
由余弦定理得cos∠F₁PF₂=$\frac{{m}^{2}+（m+8）^{2}-100}{2m（m+8）}$=$\frac{1}{2}$，
解得m=2$\sqrt{13}$-4，
∴S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|sin∠{F}_{1}P{F}_{2}$=$\frac{1}{2}×$（2$\sqrt{13}$-4）×（2$\sqrt{13}$+4）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=9$\sqrt{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了雙曲線的性質(zhì)，余弦定理，屬于中檔題．