Question

13．如圖，已知圓心角為120°的扇形AOB的半徑為1，C為$\widehat{AB}$中點，點D，E分別在半徑OA，OB上若CD²+CE²+DE²=$\frac{5}{2}$，則OD+OE的取值范圍是$[\frac{1+\sqrt{5}}{4}，\frac{2+\sqrt{14}}{5}]$．

Answer 1

分析 如圖所示，連接OC．在△COD與△COE、△ODE中，由余弦定理可得：CD²=OD²+1-2ODcos60°=OD²+1-OD，CE²=OE²+1-2OEcos60°=OE²+1-OE．DE²=OD²+OE²-2OD•OEcos120°=OD²+OE²+OD•OE，利用CD²+CE²+DE²=$\frac{5}{2}$，可得$\frac{5}{2}$=2（OD+OE）²-（OD+OE）-3OD•OE+2，利用0≤$OD•OE≤\frac{（OD+OE）^{2}}{4}$，化簡解出即可．

解答 解：如圖所示，連接OC．
∵C為$\widehat{AB}$中點，圓心角為120°的扇形AOB，
∴∠COD=∠COE=60°．
在△COD與△COE中，
由余弦定理可得：CD²=OD²+1-2ODcos60°=OD²+1-OD，
CE²=OE²+1-2OEcos60°=OE²+1-OE．
DE²=OD²+OE²-2OD•OEcos120°=OD²+OE²+OD•OE
∵CD²+CE²+DE²=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{5}{2}$=2OD²-OD+2OE²-OE+2+OD•OE=2（OD+OE）²-（OD+OE）-3OD•OE+2，
∵0≤$OD•OE≤\frac{（OD+OE）^{2}}{4}$，
設(shè)OD+OE=x，
化為$\frac{1}{2}≤$2x²-x$≤\frac{1}{2}+\frac{3{x}^{2}}{4}$，
解得$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$≤$x≤\frac{2+\sqrt{14}}{5}$．
∴OD+OE的取值范圍是$[\frac{1+\sqrt{5}}{4}，\frac{2+\sqrt{14}}{5}]$．
故答案為：$[\frac{1+\sqrt{5}}{4}，\frac{2+\sqrt{14}}{5}]$．．

點評 本題考查了余弦定理的應用、基本不等式的性質(zhì)、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．