Question

9．設(shè)命題p：x₁，x₂是方程x²+ax-1=0的兩個(gè)實(shí)根，且不等式m²+5m-3≥|x₁-x₂|對(duì)任意的實(shí)數(shù)a∈[-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$]恒成立；命題q：f（x）=$\frac{x+2-m}{x-m}$在區(qū)間（-∞，3）上是減函數(shù)．
（1）若命題p的逆否命題為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若p∧（￢q）為真，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)題意求出|x₁-x₂|的最大值，再解不等式，可得命題p為真時(shí)，m的范圍，根據(jù)反比例型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出命題q為真時(shí)，m的范圍，
（1）若命題p的逆否命題為真，即命題p為真；
（2）若p∧（￢q）為真，則P為真，q為假；

解答 解：∵x₁，x₂是方程x²+ax-1=0的兩個(gè)實(shí)根
∴x₁+x₂=-a，x₁•x₂=-1，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+4}$
∴當(dāng)a∈[-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$]時(shí)，|x₁-x₂|_max=3，
由不等式m²+5m-3≥|x₁-x₂|對(duì)任意實(shí)數(shù)a∈[-1，1]恒成立．
可得：m²+5m-3≥3，
∴m≥1或m≤-6，
∴命題p為真命題時(shí)m≥1或m≤-6，
若f（x）=$\frac{x+2-m}{x-m}$=$\frac{2}{x-m}$+1在區(qū)間（-∞，3）上是減函數(shù)，
則m≥3，
∴命題q為真命題時(shí)m≥3，命題q為假命題時(shí)m＜3；
（1）若命題p的逆否命題為真，則命題p為真，
此時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≥1或m≤-6，
（2）若p∧（￢q）為真，則P為真，q為假，
此時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍為1≤m＜3或m≤-6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了命題真假的判斷的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．