Question

20．已知點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離和等于4．
（Ⅰ）試判斷點(diǎn)P的軌跡C的形狀，并寫出其方程；
（Ⅱ）若曲線C與直線m：y=x-1相交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長．

Answer 1

分析 （I）利用橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出．
（Ⅱ）設(shè)A₁（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：7x²-8x-8=0，利用弦長公式|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為4大于兩定點(diǎn)間的距離|F₁F₂|=2，
∴點(diǎn)P的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓，其設(shè)其方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
則2a=4，2c=2
即$a=2，c=1，b=\sqrt{3}$
∴點(diǎn)P的軌跡方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）設(shè)A₁（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=x-1\end{array}\right.$，得7x²-8x-8=0，
則有$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{8}{7}\\{x_1}{x_2}=-\frac{8}{7}\end{array}\right.$，
∴弦長|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[（\frac{8}{7}）^{2}+4×\frac{8}{7}]}$=$\frac{24}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．