Question

5．已知函數(shù)f（x）=a（x-$\frac{1}{x}$）-lnx（x∈R）．
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（x））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-$\frac{1}{x}$-lnx，（x＞0），f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，可得f′（1）=1，又f（1）=0，利用點(diǎn)斜式即可得出；
（2）f′（x）=a+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-x+a}{{x}^{2}}$，函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，f′（x）≥0在其定義域內(nèi)恒成立，即$a≥\frac{x}{{x}^{2}+1}$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-$\frac{1}{x}$-lnx，（x＞0），
f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=1，又f（1）=0，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（x））處的切線方程為y=x-1；
（2）f′（x）=a+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-x+a}{{x}^{2}}$，
∵函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，
∴f′（x）≥0在其定義域內(nèi)恒成立，
∴$a≥\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
∵x＞0，∴$\frac{x}{{x}^{2}+1}=\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$$≤\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=$\frac{1}{2}$．
∴$a≥\frac{1}{2}$，
∴a的取值范圍是$[\frac{1}{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、幾何意義、切線方程、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．